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2017阿里内推笔试题–算法工程师(运筹优化)

题目

沐哲是一个菜鸟仓库的一个拣货员，但他有非常个怪异的习惯。每次拣货的重量都要比之前拣的一个轻，每次拣到货后都可以得到1块钱，沐哲想知道这样最多能赚多少钱

32 34 7 33 21 2 13 12 3 11 26 36 16 30 22 1 24 14 20 23 25 5 19 29 27 15 9 17 31 4 6 18 8 10 35 28 沐哲可以从仓库的某个货架开始拣货，下一步可以往上走，也可以往下走，当然，向左向右也可以，但必须使得下一个货物重量减小，才会去拣。在上面的仓库中，一条可拣货的路径为 25-22-3。当然30-23-20-16-13-12-3可以拣的货更多。这也是赚钱最多的一条路径。

要求

输入行数、列数和数据矩阵，输出所赚的最大钱数。

例子: 输入: 6 6 32 34 7 33 21 2 13 12 3 11 26 36 16 30 22 1 24 14 20 23 25 5 19 29 27 15 9 17 31 4 6 18 8 10 35 28 输出: 7

分析

此题应该属于树搜索的题目，拿到题目后一直在想怎么用动态规划。结果测试时间都过了，还是没做出来，真是搓的一笔。

最暴力的解法就是对每个点遍历，以每个点为起点进行深度优先搜索，找它相邻点的可行路径。搜索后将最大结果保存到当前位置，等遍历完后，找到矩阵元素的最大值，然后输出该值。

版本一

函数:

# check the (i,j) is in the matrix indexdef isInside(row,col,i,j):    return (i in range(row)) and (j in range(col))# get the max step from the current pointdef currentMaxStep(data,row,col,i,j):    max_step=0    directs = [(-1,0),(1,0),(0,-1),(0,1)]    for (dx,dy) in directs:        x,y = i+dx,j+dy        if(isInside(row,col,x,y) and data[x][y] < data[i][j]):            max_step = max([currentMaxStep(data,row,col,x,y),max_step])    return max_step + 1# traverse the whole data and generate the max step mapdef getMaxMap(data,row,col):    Map = [[0 for j in range(col)] for i in range(row)]    for i in range(row):        for j in range(col):            Map[i][j] = currentMaxStep(data,row,col,i,j)    print('the max step map is:')        for i in range(row):        print(Map[i])    return Map# find the max from the max step mapdef maxStep(data,row,col):    Map = getMaxMap(data,row,col)    return max([max(i) for i in Map])

测试结果:

if __name__=='__main__':    row,col = 6,6    data = [[32,  34,   7,  33,  21,   2],                [13,  12,   3,  11,  26,  36],                [16,  30,  22,  1,   24,  14],                [20,  23,  25,  5,   19,  29],                [27,  15,   9,  17,  31,   4],                [ 6,  18,   8,  10,  35,  28]]    print(maxStep(data,row,col))

输出:

the max step map is:[4, 5, 2, 3, 2, 1][3, 2, 1, 2, 5, 6][4, 7, 2, 1, 4, 1][5, 6, 7, 2, 3, 4][6, 3, 2, 3, 4, 1][1, 4, 1, 2, 5, 2]7

我们发现，每个点在进行深度优先搜索时，会遇到和其他点相同的路径，所以优化的空间。如果当前节点在之前已经搜索过了，这时候就需要判断需不需要继续搜索。两种情况

1、当前计算最大步数值大于之前遍历到该点的最大步数值，说明当前路径要比之前的路径更优，需要更新。 2、反之，不在搜索当前路径。 举个例子: 如data的第一个元素的最大路径为:32-13-12-3，最大步数为4； 当对第二个元素遍历时，假设按照上下左右的顺序，向下34-12-3为一条路径，此时第二元素的最大步数为3，向左34-32-13-12-3是个可行路径，而32-13-12-3之前已经搜索过，可以利用之前的32的最大步数值，直接比较4+1 和 3，更新第二元素的最大步数为5. 注意: 要实现这一操作，需要在遍历的过程中使用一个map来存储已遍历节点的最大步数值。

第二版

函数:

# check the (i,j) is in the matrix indexdef isInside(row,col,i,j):    return (i in range(row)) and (j in range(col))# update the local-max-step mapdef updateMap(data,Map,row,col,i,j):    directs = [(-1,0),(1,0),(0,-1),(0,1)]    for (dx,dy) in directs:        x,y = i+dx,j+dy        if(isInside(row,col,x,y) and data[x][y] > data[i][j] and Map[x][y] < Map[i][j]+1):            Map[x][y] = Map[i][j]+1            updateMap(data, Map,row,col,x,y)# find the max from the max step mapdef maxStep(data,row,col):    Map = [[1 for j in range(col)] for i in range(row)]    [updateMap(data,Map,row,col,i,j) for i in range(row) for j in range(col)]    print('the max step map is:')    [print(Map[i]) for i in range(row)]    return max([max(i) for i in Map])

测试结果:

if __name__=='__main__':    row,col = 6,6    data = [[32,  34,   7,  33,  21,   2],                [13,  12,   3,  11,  26,  36],                [16,  30,  22,  1,   24,  14],                [20,  23,  25,  5,   19,  29],                [27,  15,   9,  17,  31,   4],                [ 6,  18,   8,  10,  35,  28]]    print(maxStep(data,row,col))

输出:

the max step map is:[4, 5, 2, 3, 2, 1][3, 2, 1, 2, 5, 6][4, 7, 2, 1, 4, 1][5, 6, 7, 2, 3, 4][6, 3, 2, 3, 4, 1][1, 4, 1, 2, 5, 2]7

使用一个map记录已经遍历的元素的最大步长数可以避免一些重复的遍历。

还能不能优化呢？是否每个元素都有必要遍历一遍？ 重最优化的角度来讲，此题实质上是解决从极大值到极小值的最长路径的问题。即最长路径一定是从极大值到极小值的一条路径(从山顶走到山底)。那么我们可以先找出所有最小值或者最大值，然后使用深度优先搜索遍历这些点，这些路径中，最大的一条路径一定是整个图中最大的路径。这就衍生了第三个版本(从极小值往上搜，是个上山的过程)。

版本三

函数:

# check the (i,j) is in the matrix indexdef isInside(row,col,i,j):    return (i in range(row)) and (j in range(col))# check data[i][j] is the local minimadef isLocalMinima(data,row,col,i,j):    directs = [(-1,0),(1,0),(0,-1),(0,1)]    invalid_directs = [isInside(row,col,i+dx,j+dy) and data[i][j]>data[i+dx][j+dy] for (dx,dy) in directs]    return not any(invalid_directs)# find the local minimadef findLocalMinimaElements(data,row,col):    minima = []    for i in range(row):        for j in range(col):            if isLocalMinima(data,row,col,i,j):                minima.append((i,j))    return minima# update the local-max-step mapdef updateMap(data,Map,row,col,i,j):    directs = [(-1,0),(1,0),(0,-1),(0,1)]    for (dx,dy) in directs:        x,y = i+dx,j+dy        if(isInside(row,col,x,y) and data[x][y] > data[i][j] and Map[x][y] < Map[i][j]+1):            Map[x][y] = Map[i][j]+1            updateMap(data, Map,row,col,x,y)   # main functiondef maxStep(data,row,col):    minima = findLocalMinimaElements(data,row,col)    Map = [[1 for j in range(col)] for i in range(row)]    for (min_x,min_y) in minima:        updateMap(data,Map,row,col,min_x,min_y)    print('the max step map is:')    [print(Map[i]) for i in range(row)]    return max([max(i) for i in Map])

测试结果:

if __name__=='__main__':    row,col = 6,6    data = [[32,  34,   7,  33,  21,   2],                [13,  12,   3,  11,  26,  36],                [16,  30,  22,  1,   24,  14],                [20,  23,  25,  5,   19,  29],                [27,  15,   9,  17,  31,   4],                [ 6,  18,   8,  10,  35,  28]]    print(maxStep(data,row,col))

输出:

the max step map is:[4, 5, 2, 3, 2, 1][3, 2, 1, 2, 5, 6][4, 7, 2, 1, 4, 1][5, 6, 7, 2, 3, 4][6, 3, 2, 3, 4, 1][1, 4, 1, 2, 5, 2]7

还能优化吗？

目前还没想到特别好的方法，只能以空间换时间。在对极小值进行深度优先搜索时，每个极小值可以独立使用一张图存储可行路径上每个元素的最大步数值。然后使用多线程跑，最优比较这些图中的最大值，即为最大步数。这个对大数据矩阵应该会有效果吧。

完整的测试代码放到github上了，有需要的可以下载：

转载地址：http://prhci.baihongyu.com/